Teoremi della circonferenza IGCSE: 3 esempi svolti

L'IGCSE di matematica chiede otto teoremi della circonferenza, e stanno tutti nel contenuto Extended. La lista d'esame e: angolo al centro, angolo nella semicirconferenza, angoli nello stesso segmento, quadrilatero ciclico, tangente perpendicolare al raggio, tangenti uguali da un punto esterno, teorema del segmento alterno e perpendicolare dal centro che dimezza la corda.

Nel Cambridge IGCSE Mathematics 0580 questi argomenti stanno nella sezione Geometry del programma Extended, quindi a un candidato Core non vengono mai chiesti. Nell'assetto attuale del 0580 i candidati Extended sostengono il Paper 2 senza calcolatrice e il Paper 4 con la calcolatrice, entrambi da due ore e 100 punti, e le domande sui teoremi compaiono in tutti e due. Nell'Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1) sono contenuto Higher tier, distribuito su Paper 1H e Paper 2H, due ore e 100 punti ciascuno, con calcolatrice ammessa in entrambi. Se stai ancora scegliendo il livello, la decisione tra Extended e Core pesa piu di qualunque singolo argomento.

Nessuno degli otto teoremi e difficile preso da solo.

Quello che li rende uno degli argomenti IGCSE piu ostici e che gli esaminatori li combinano, e che pretendono il nome del teorema scritto come motivazione.

L'angolo al centro si trova usando prima i triangoli isosceli e poi raddoppiando. Nella domanda IGCSE qui sotto le risposte sono $\angle ABC = 53^\circ$ e $\angle AOC = 106^\circ$. Il passaggio sui raggi viene prima del teorema, ed e proprio quello che quasi tutti omettono.

La domanda.

$A$, $B$ e $C$ stanno su una circonferenza di centro $O$. $\angle BAO = 32^\circ$ e $\angle BCO = 21^\circ$. Calcola l'angolo ottuso $\angle AOC$, motivando ogni passaggio. (4 punti)

Passo 1: segna cio che e uguale.

$OA$, $OB$ e $OC$ sono raggi della stessa circonferenza, quindi $OA = OB = OC$. Scrivilo sulla figura prima di qualsiasi altra cosa.

Passo 2: usa il triangolo $OAB$.

Ha $OA = OB$, quindi e isoscele e gli angoli alla base sono uguali: $\angle OBA = \angle OAB = 32^\circ$.

Passo 3: usa il triangolo $OBC$.

Stesso ragionamento con $OB = OC$: $\angle OBC = \angle OCB = 21^\circ$.

Passo 4: somma.

$\angle ABC = 32^\circ + 21^\circ = 53^\circ$, perche $OB$ divide $\angle ABC$ in quelle due parti.

Passo 5: applica il teorema.

$\angle AOC = 2 \times 53^\circ = 106^\circ$, angle at centre is twice angle at circumference.

Dove stanno i punti.

Un mark scheme tipico assegna un M1 per uno dei due angoli alla base, un A1 per $\angle ABC = 53^\circ$, un M1 per il raddoppio e un A1 per $106^\circ$. Siccome il raddoppio e un punto di metodo, chi sbaglia $\angle ABC$ ma raddoppia correttamente lo prende comunque in follow through.

I teoremi si concatenano trattando ogni angolo trovato come un nuovo dato. In questa domanda IGCSE la catena e segmento alterno, poi quadrilatero ciclico, poi una sottrazione, e la risposta finale e $\angle BDC = 29^\circ$. E cosi che gli esaminatori costruiscono una domanda da cinque punti con teoremi che da soli ne varrebbero due.

La domanda.

$A$, $B$, $C$ e $D$ stanno su una circonferenza in quest'ordine. La retta $SAT$ e tangente alla circonferenza in $A$, con $T$ dalla parte opposta della corda $AB$ rispetto a $C$ e $D$. $\angle TAB = 63^\circ$ e $\angle ABC = 88^\circ$. Calcola $\angle BDC$. (5 punti)

Passo 1: segmento alterno.

L'angolo tra la tangente $AT$ e la corda $AB$ e uguale all'angolo che $AB$ sottende nel segmento alterno. $D$ sta in quel segmento, quindi $$\angle ADB = \angle TAB = 63^\circ$$

Passo 2: quadrilatero ciclico.

$ABCD$ e un quadrilatero ciclico, quindi $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono opposti e sommano a $180^\circ$: $$\angle ADC = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$

Passo 3: spezza l'angolo in $D$.

$DB$ cade dentro $\angle ADC$, quindi $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$, da cui $$\angle BDC = 92^\circ - 63^\circ = 29^\circ$$

Passo 4: verifica.

$\angle BDC$ e $\angle BAC$ insistono sullo stesso arco $BC$, quindi devono essere uguali. Se calcoli $\angle BAC$ per un'altra strada e non ti viene $29^\circ$, hai sbagliato qualcosa. E un controllo da trenta secondi che sul paper con calcolatrice ha senso fare.

Perche si perdono punti qui.

Si riconosce l'angolo del segmento alterno, si scrive $63^\circ$ e ci si ferma, perche la domanda non sembra contenere altro. L'indizio e il punteggio: cinque punti significano almeno tre passaggi distinti, mai un teorema solo.

A una domanda "show that" sulla circonferenza si risponde scrivendo ogni angolo intermedio con la sua motivazione e arrivando al valore stampato, mai partendo da quello a ritroso. L'esempio IGCSE qui sotto chiede di mostrare che $\angle CTA = 22^\circ$, e le strade valide sono due. Entrambe prendono pieni punti, una e piu corta di tre righe.

La domanda.

$AB$ e un diametro di una circonferenza di centro $O$. $C$ e un punto della circonferenza con $\angle CAB = 34^\circ$. La tangente in $C$ incontra il prolungamento di $AB$ in $T$. Mostra che $\angle CTA = 22^\circ$. (4 punti)

Strada 1, quella della semicirconferenza.

• $\angle ACB = 90^\circ$, angle in a semicircle.
• $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$, somma degli angoli interni.
• $OB = OC$ sono raggi, quindi il triangolo $OBC$ e isoscele e $\angle OCB = 56^\circ$.
• $\angle COB = 180^\circ - 2 \times 56^\circ = 68^\circ$.
• $\angle OCT = 90^\circ$, tangent is perpendicular to the radius.
• Nel triangolo $OCT$:$\angle OTC = 180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$, e$\angle CTA$ e lo stesso angolo perche $A$, $O$, $B$ e $T$ sono allineati.

Strada 2, quella del segmento alterno.

• $\angle BCT = \angle CAB = 34^\circ$, alternate segment theorem.
• $\angle ACB = 90^\circ$ e $\angle ABC = 56^\circ$ come sopra, quindi $\angle CBT = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$, angoli supplementari su una retta.
• Nel triangolo $BCT$:$\angle BTC = 180^\circ - 124^\circ - 34^\circ = 22^\circ$.

Che cosa premia il mark scheme.

Cambridge ed Edexcel accettano qualunque metodo corretto, quindi la strada 2 non viene penalizzata perche e piu breve. Viene penalizzato invece scrivere $\angle CTA = 22^\circ$ e poi verificare che gli altri angoli tornino. In una domanda "show that" il risultato stampato non e una prova: l'ultima riga deve essere la conclusione del tuo ragionamento, non il suo punto di partenza. Se vuoi le sigle che gli esaminatori usano per tutto questo, guarda come funzionano i mark scheme IGCSE.

Nelle domande IGCSE sui teoremi della circonferenza i punti si prendono sulle motivazioni e sugli angoli intermedi, non sul numero finale. Una domanda da quattro o cinque punti assegna in genere un punto per ogni passaggio motivato correttamente, quindi chi scrive solo la risposta finale, anche giusta, puo prendere due su cinque mentre chi sbaglia il risultato ma mostra tutto ne prende quattro.

Le command words dicono che cosa viene valutato.

"Work out" e "Calculate" vogliono il valore piu abbastanza passaggi da mostrare il metodo. "Give a reason for your answer" rende la motivazione stessa un punto, di solito un B1. "Show that" fissa il traguardo e valuta il percorso. "Give the exact value" oppure "Give your answer in terms of $\pi$" compare quando la domanda finisce con un calcolo di arco o settore.

I quattro modi con cui si perdono punti davvero:

• Scrivere una motivazione quasi giusta. "Angles in a triangle" al posto di "angles in the same segment" vale zero, perche il mark scheme cerca il teorema, non un'affermazione vera.
• Dare per scontato che una retta passante vicino a $O$ sia un diametro. Le figure sono stampate NOT TO SCALE: se un punto non e etichettato come centro o una retta non e dichiarata diametro, non puoi usarla come tale.
• Dare per scontata una tangente. Una retta che nel disegno sfiora la circonferenza e tangente solo se il testo lo dice.
• Fermarsi al primo angolo trovato quando il punteggio segnala chiaramente altri passaggi.

Sul paper senza calcolatrice

i teoremi della circonferenza sono aritmetica pura con $180$ e $360$, quindi non c'e nessuno svantaggio. Sono i seguiti su archi e settori ($\text{arco} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$) a essere di solito riservati al paper con calcolatrice.

I teoremi della circonferenza IGCSE si allenano facendo domande dei past paper con le motivazioni scritte per esteso, e poi rifacendo le stesse domande due settimane dopo partendo dalla figura vuota. L'abilita testata e il riconoscimento, non il calcolo, e il riconoscimento si costruisce solo vedendo tante figure diverse degli stessi otto teoremi.

Una routine di quattro settimane che funziona.

Settimana uno: otto cartoncini, un teorema ciascuno, enunciato davanti e motivazione d'esame dietro. Settimana due: dieci domande di past paper, motivazioni complete, autocorrezione con il mark scheme ufficiale. Settimana tre: le stesse dieci domande con lo svolgimento coperto. Settimana quattro: domande miste in cui non sai in anticipo quale teorema serve, perche e quella la condizione reale d'esame.

Usa il mark scheme come lista di vocaboli.

Leggi tre o quattro mark scheme di domande sulla circonferenza e noterai che le motivazioni si ripetono quasi parola per parola. Copia quelle formule sui tuoi cartoncini invece di inventarne di tue. Il metodo per farlo in modo sistematico e in come usare i past paper di matematica IGCSE.

Un test diagnostico.

Disegna una circonferenza con il centro, due corde e una tangente, etichetta tre angoli a caso e chiediti quali teoremi potrebbero applicarsi. Se sai nominare tre teoremi candidati in meno di trenta secondi, su questo argomento sei pronto. Se non ne nomini nessuno, il problema e il riconoscimento e non la matematica, e fare altri calcoli non lo risolvera.