IA di Matematica IB: argomenti e criteri di valutazione

L'exploration vale 20 punti e pesa per il 20% del voto finale di Matematica, sia a SL sia a HL, sia in Analysis and Approaches sia in Applications and Interpretation. Quei 20 punti non sono un'impressione complessiva: sono cinque conti separati, e ognuno si apre o si chiude in base a prove precise dentro il tuo documento.

Criterio A, Presentation, su 4.

Premia un lavoro coerente, organizzato, conciso. Coerente significa che chi legge segue il ragionamento senza tornare indietro. Organizzato significa che la struttura si vede. Conciso significa che nulla è lì per riempire: cinque pagine di appendice con l'output grezzo del foglio di calcolo qui ti tolgono punti.

Criterio B, Mathematical communication, su 4.

Premia notazione, terminologia e rappresentazioni corrette e coerenti, variabili definite, ragionamento deduttivo. È il criterio dove si perdono più punti per distrazione e quello più facile da sistemare.

Criterio C, Personal engagement, su 3.

Le bande vanno da un coinvolgimento parziale, a significativo, a eccellente. Si dimostra con quello che hai fatto, non con quello che dici di aver provato.

Criterio D, Reflection, su 3.

Le bande vanno da riflessione limitata, a significativa, a critica. Critica vuol dire che valuti la matematica, non l'esperienza di aver scritto il lavoro.

Criterio E, Use of mathematics, su 6.

Il blocco più grande. La matematica deve essere pertinente, adeguata al livello del tuo corso, corretta e usata con comprensione. La banda alta chiede precisione, raffinatezza e rigore.

Conseguenza pratica: prima di scrivere una riga, metti i cinque criteri in una colonna e accanto a ciascuno scrivi la pagina esatta della bozza in cui l'esaminatore troverà la prova. Ogni casella vuota è un criterio su cui in questo momento prendi zero. La nostra guida all'internal assessment IB spiega come questa logica si applica anche alle altre materie del Diploma.

La maggior parte delle exploration deboli si decide nella scelta dell'argomento, non nella scrittura. Un argomento è valido solo se supera quattro domande.

Contiene una domanda o solo un tema?

"I frattali" è un tema. "Quanto bene il box counting stima la dimensione frattale della costa lombarda del lago di Como a partire dai dati cartografici?" è una domanda. I criteri A e D hanno bisogno di una domanda, perché coerenza e riflessione si misurano rispetto a un obiettivo.

La matematica è adeguata al corso e al livello?

È l'errore più costoso in assoluto. In AA HL il programma vive su analisi, numeri complessi, vettori, dimostrazioni e serie, quindi un'exploration che si ferma a una retta di regressione su dieci punti non può arrivare in cima al criterio E, per quanto sia scritta bene. In AI SL, invece, modellizzazione statistica, test del chi quadro e ottimizzazione applicata sono esattamente il registro giusto, e importare derivate parziali prese dal web fa perdere punti anziché guadagnarli, perché non puoi dimostrare di capire ciò che hai preso in prestito. Confronta onestamente il tuo programma con la guida al syllabus AA HL prima di decidere.

Riesci a procurarti i dati o a generare gli esempi da solo?

Le exploration che dipendono da un dataset che poi non esiste muoiono alla quarta settimana. Se usi dati secondari, citali e spiega perché sono adatti allo scopo.

C'è qualcosa che devi decidere tu?

Il criterio C premia le scelte: scegliere il modello, raccogliere le proprie misure, provare una variante che nessuno ti ha suggerito, applicare un metodo a un contesto che ti interessa davvero.

Funzionano bene: modellizzare un processo reale di crescita o decadimento che hai misurato, ottimizzare una forma fisica vera, confrontare due modelli previsionali sugli stessi dati, ricavare un risultato che di solito ti viene solo enunciato, applicare una tecnica del syllabus a un contesto esterno alla matematica come musica, sport o medicina. Funzionano male: la storia di un teorema famoso, una dimostrazione copiata dal libro, e qualunque cosa sul problema di Monty Hall o sulla sezione aurea, che gli esaminatori hanno visto migliaia di volte e che non ti lasciano nessuna decisione da prendere.

I criteri A e B valgono 8 punti su 20, sono in gran parte meccanici e sono proprio quelli che gli studenti regalano più spesso. Una struttura che funziona, sezione per sezione:

• Introduzione, circa una pagina. La domanda, perché l'hai scelta, cosa farai. L'obiettivo in una frase che anche un non specialista saprebbe ripetere.
• Richiami teorici, una o due pagine. Solo la teoria che userai davvero, con le variabili definite al primo uso.
• Sviluppo principale, sei a dieci pagine. Derivazione, dati, modello, calcoli, risultati.
• Validazione ed estensione, due a quattro pagine. Verifica del modello, cambio di un'ipotesi, metodo spinto oltre.
• Conclusione, mezza pagina. Rispondi alla domanda che hai posto, non riassumere il procedimento.
• Bibliografia e appendice breve. Nelle appendici stanno i dati grezzi, mai il ragionamento.

Sulla notazione gli errori sono sempre gli stessi. La notazione da calcolatrice o da foglio di calcolo costa punti: scrivi $2^{x}$ e non 2^x, scrivi $3 \times 10^{5}$ e non 3E5, scrivi $xy$ e non x*y. Usa $=$ solo fra cose uguali, quindi mai catene come $\frac{dy}{dx} = 2x = 4$ quando $x = 2$. Definisci ogni simbolo: $T$ è la temperatura in gradi Celsius, $t$ il tempo in minuti dal versamento. Un simbolo, un significato, per tutto il lavoro. Etichetta ogni grafico con grandezza e unità su entrambi gli assi e dai a ogni figura un numero che richiami nel testo.

L'output della calcolatrice grafica e del software è normale in un'exploration attuale, ma uno screenshot incollato non è comunicazione. Ogni screenshot vuole una didascalia che dica cosa mostra e una frase nel corpo del testo che dica cosa ne hai concluso. Se togliendo lo screenshot il ragionamento regge lo stesso, quello screenshot era decorazione e il criterio A lo tratterà come tale.

Ecco in miniatura come si presenta una sezione da banda alta. Obiettivo: la legge del raffreddamento di Newton prevede la temperatura di una tazza di caffè nella mia cucina, e dove sbaglia?

Passo 1, enuncia il modello e ricava la soluzione.

Non citare la formula esponenziale già pronta. Ricavarla è esattamente il punto in cui il criterio B premia il ragionamento deduttivo, come in un paper d'esame si premia il metodo prima del risultato. La legge di Newton assume che la velocità di raffreddamento sia proporzionale alla differenza di temperatura con l'ambiente:

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$$

dove $T$ è la temperatura del caffè in gradi Celsius, $T_s$ la temperatura costante della stanza, $t$ il tempo in minuti e $k > 0$ una costante di raffreddamento con unità $\text{min}^{-1}$. Separando le variabili si ha $\int \frac{1}{T - T_s} \, dT = \int -k \, dt$, quindi $\ln|T - T_s| = -kt + C$, e imponendo $T(0) = T_0$ si ottiene

$$T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$$

Passo 2, rendi il modello verificabile.

Prendendo il logaritmo dell'eccesso di temperatura il modello si linearizza: $\ln(T - T_s) = \ln(T_0 - T_s) - kt$. Quindi il grafico di $\ln(T - T_s)$ in funzione di $t$ deve essere una retta di pendenza $-k$.

Passo 3, usa le misure.

Con $T_s = 22$, $T_0 = 90$ e una misura $T = 68$ a $t = 10$:

$$-k = \frac{\ln(68 - 22) - \ln(90 - 22)}{10 - 0} = \frac{3.829 - 4.220}{10} = -0.0391$$

quindi $k \approx 0.0391 \ \text{min}^{-1}$.

Passo 4, prevedi e confronta.

A $t = 20$ il modello dà $T = 22 + 68e^{-0.0391 \times 20} = 22 + 68(0.4575) \approx 53.1\ ^\circ\text{C}$, contro un valore misurato di $55.0\ ^\circ\text{C}$, con un residuo di $1.9\ ^\circ\text{C}$.

Passo 5, sii critico, cioè il criterio D.

Un solo residuo non è una valutazione. Traccia tutti i residui: se sono positivi all'inizio e negativi dopo, l'errore è sistematico e non casuale, e il modello è sbagliato nella struttura, non solo impreciso. Fisicamente l'evaporazione sottrae calore soprattutto all'inizio, cosa che il modello a corpo unico ignora, e la stanza non resta esattamente a $22\ ^\circ\text{C}$.

Passo 6, estendi, ed è qui che vive la cima del criterio E.

Stima $k$ con i minimi quadrati su tutti i dati invece che su due punti e confronta. Poi aggiungi un termine evaporativo, $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s) - c$, risolvi e verifica se il parametro in più migliora davvero i residui o se sta solo inseguendo il rumore. Questa sequenza, ricavo, stimo, verifico, critico, estendo, è la forma di un'exploration da 6 su 6.

I criteri C e D insieme valgono 6 punti, quasi un terzo dell'exploration, e sono i due che più spesso vengono scritti come riempitivo.

Il coinvolgimento personale si dimostra con le azioni.

Scrivere "sono sempre stato affascinato dalle funzioni esponenziali" non vale nulla. Valgono punti: hai raccolto i tuoi dati, hai scelto fra due modelli motivando la scelta, hai costruito una piccola simulazione per verificare un'intuizione, hai posto una domanda a cui le fonti non rispondevano, hai adattato un metodo standard perché quello standard non andava bene per il tuo contesto. Scrivi queste azioni in prima persona e nel punto del ragionamento in cui accadono, non in un paragrafo a parte alla fine.

La riflessione deve essere matematica e distribuita.

La riflessione limitata descrive: "il modello era abbastanza accurato". La riflessione significativa valuta con prove: "il residuo medio assoluto di $1.4\ ^\circ\text{C}$ su dieci misure è confrontabile con la risoluzione del termometro, quindi lo scarto rientra nell'incertezza di misura". La riflessione critica cambia la direzione del lavoro: "poiché i residui hanno segno sistematico, rifittare lo stesso modello è inutile, quindi ho modificato l'ipotesi di partenza". Le exploration più forti hanno tre o quattro momenti riflessivi distribuiti nel documento, ciascuno seguito da una decisione, più una riflessione finale che dichiara i limiti di ciò che è stato mostrato.

Un test affidabile sulla bozza: evidenzia ogni frase che resterebbe vera anche con un argomento completamente diverso. Quelle frasi valgono zero su C e D. Se sono la maggior parte della tua riflessione, riscrivi partendo dai numeri concreti che hai davvero prodotto.

È la stessa disciplina che distingue un buon candidato del Diploma in tutte le materie, ed è l'abitudine dietro l'impostazione della nostra strategia di preparazione agli esami IB.

L'exploration non si scrive in condizioni d'esame, ma si scrive sotto pressione, di solito nello stesso trimestre dell'Extended Essay e di altre due internal assessment. La scuola fissa una scadenza interna mesi prima di quella IB e il docente può dare un feedback scritto su una sola bozza. Quella bozza è l'unico riscontro in stile esaminatore che riceverai, quindi deve essere un tentativo vero, non una scaletta.

Un piano che funziona in otto settimane:

• Settimane 1 e 2. Due argomenti candidati, una pagina di matematica esplorativa per ciascuno. Scegli. Scrivi il titolo come domanda e l'obiettivo in una frase.
• Settimana 3. Raccogli i dati o genera gli esempi. Fai le letture teoriche. Costruisci il nucleo matematico su carta, non nel programma di videoscrittura.
• Settimane 4 e 5. Scrivi la bozza completa, dall'inizio alla fine, estensione inclusa. Lascia l'introduzione per ultima: non puoi introdurre un ragionamento che non hai ancora fatto.
• Settimana 6. Consegna la bozza per l'unico giro di feedback. Nell'attesa fai il passaggio sulla notazione e costruisci per bene tutti i grafici.
• Settimana 7. Lavora sul feedback. Approfondisci la matematica se il criterio E è stato segnalato, perché è lì che stanno i punti, e taglia tutto ciò che non serve all'obiettivo.
• Settimana 8. Bibliografia, numerazione delle figure, rilettura ad alta voce, poi consegna con una settimana di anticipo, così una stampante rotta non diventa un dramma.

Se sei già in ritardo, l'ordine di priorità lo decide la distribuzione dei punti. Sistema prima il criterio E, che vale 6 punti e che nessuna rifinitura salva se la matematica è sotto il livello del corso. Poi B, perché la notazione si ripara in fretta. Poi D, perché due o tre paragrafi riflessivi veri, agganciati ai tuoi numeri, possono spostarti di banda. Poi A, infine C. Quello che non devi fare è aggiungere pagine: nell'ultima settimana i guadagni più rapidi vengono quasi sempre dal tagliare.

Pianifica il carico rispetto al resto del Diploma. Molti studenti sottovalutano quanta parte dell'anno consumino davvero le internal assessment, un problema che affrontiamo nell'articolo sulle difficoltà della Matematica IB.