IB Further Maths HL abolito: cosa studiare al suo posto

Sì. IB Further Mathematics HL è stato ritirato con la revisione del curriculum del 2019 ed è stato esaminato per l'ultima volta nella sessione di novembre 2020. Oggi nessuna scuola può iscrivere un candidato a quella materia e non esiste nessun corso erede con quel nome. Il Diploma IB offre esattamente due corsi di matematica, ciascuno a SL e a HL.

Che cos'era davvero il vecchio corso.

Further Mathematics HL era una materia del Gruppo 5 da 240 ore, valutata con due prove scritte da 2 ore e 30 minuti ciascuna, 150 punti ciascuna, con peso del 50 per cento e 50 per cento. Non aveva alcuna internal assessment. Quasi tutti i candidati lo affiancavano a Mathematics HL, perché i suoi sei argomenti (algebra lineare, geometria, statistica e probabilità, insiemi relazioni e gruppi, analisi, matematica discreta) davano per scontato tutto il programma di Mathematics HL.

Perché l'IB lo ha tolto.

La revisione del 2019 ha sostituito quattro corsi, Mathematical Studies SL, Mathematics SL, Mathematics HL e Further Mathematics HL, con due corsi su due livelli: Mathematics: Analysis and Approaches e Mathematics: Applications and Interpretation. È cambiato il criterio di fondo. Oggi gli studenti si dividono per il tipo di matematica di cui hanno bisogno, analitica o applicata, non per la quantità che riescono a reggere.

Le date che contano.

Le nuove materie si insegnano dal settembre 2019 e i primi esami sono stati quelli di maggio 2021. Novembre 2020 è stata l'ultima sessione di Further Mathematics HL. Se una brochure, un forum o una vecchia pagina di offerte universitarie parla ancora di Further Mathematics HL, quella pagina è semplicemente vecchia, e nessuno studio da autodidatta produce un certificato in una materia che l'IB non esamina più.

Studia Mathematics: Analysis and Approaches HL. È la strada diretta per chi voleva Further Mathematics HL per la matematica pura, perché dimostrazione, numeri complessi, vettori, serie ed equazioni differenziali stanno tutti dentro il suo contenuto HL only. Se invece ti attirava il lato discreto e statistico, la scelta giusta è Applications and Interpretation HL.

Analysis and Approaches HL in un paragrafo.

È un corso da 240 ore costruito su cinque argomenti: Number and algebra, Functions, Geometry and trigonometry, Statistics and probability e Calculus. La valutazione è fatta di tre prove scritte più la mathematical exploration. Il contenuto HL only è il punto in cui sopravvive il sapore del vecchio Further Mathematics: induzione matematica, dimostrazione per assurdo e confutazione per controesempio, numeri complessi in forma modulo argomento e in forma di Eulero con il teorema di De Moivre, equazioni vettoriali di rette e piani, serie di Maclaurin, regola di l'Hôpital ed equazioni differenziali del primo ordine risolte per separazione delle variabili, con fattore integrante, per sostituzione omogenea oppure numericamente con il metodo di Eulero.

Applications and Interpretation HL in un paragrafo.

Anche qui 240 ore, cinque argomenti, tre prove scritte e un'exploration, ma il contenuto HL only passa per la teoria dei grafi (matrici di adiacenza, alberi di copertura minimi, problema del postino cinese e del commesso viaggiatore), le matrici con autovalori e autovettori, le catene di Markov, i ritratti di fase dei sistemi accoppiati e la statistica inferenziale. La calcolatrice grafica è ammessa in tutte le prove di AI, Paper 1 compreso.

Come sono stati ridistribuiti i vecchi argomenti.

La tabella qui sotto è la mappa onesta. Due dei sei argomenti di Further Mathematics non sono stati portati avanti affatto, e fingere il contrario è l'errore più comune nei consigli che si leggono online su questa domanda. Una lettura argomento per argomento del corso analitico è nella mia guida al programma di IB Maths AA HL.

Mathematics: Analysis and Approaches HL si valuta con tre prove scritte e un lavoro di coursework. Il Paper 1 dura 2 ore, vale 110 punti e si affronta senza calcolatrice. Il Paper 2 dura 2 ore, vale 110 punti e richiede la calcolatrice grafica. Il Paper 3 dura 1 ora e vale 55 punti. L'exploration pesa il 20 per cento.

I pesi.

Paper 1 vale il 30 per cento, Paper 2 il 30 per cento, Paper 3 il 20 per cento e l'internal assessment il 20 per cento. Further Mathematics HL distribuiva tutto il voto su due prove da 150 punti ciascuna, senza nulla di valutato internamente, quindi una mattina storta non si poteva diluire. In AA HL il carico è diviso su quattro componenti, e questo cambia la strategia di ripasso: chi è debole senza calcolatrice ha il 30 per cento del voto esposto e deve intervenire lì, non sperare che l'altra prova compensi.

Che cosa è cambiato nella forma del programma.

Further Mathematics HL erano sei argomenti obbligatori senza opzioni. Il vecchio Mathematics HL aveva un core più un argomento opzionale scelto dalla scuola. AA HL non ha né l'uno né l'altro: cinque argomenti per tutti, nessuna opzione, e il Paper 3 al posto della vecchia prova sull'opzione. Ogni candidato AA HL nel mondo affronta gli stessi contenuti.

Convenzioni valide su tutte e tre le prove.

I risultati si danno con tre cifre significative se il quesito non dice altrimenti, il formula booklet è fornito in ogni prova, e gli schemi di correzione assegnano punti M per il metodo, punti A per l'accuratezza, punti R per il ragionamento e la sigla AG quando il risultato è già dato nel testo e lo svolgimento deve arrivarci davvero.

L'induzione matematica in Mathematics AA HL è una scala, non un calcolo. Prima mostri di riuscire a stare sul primo gradino, poi mostri che stare su un gradino qualsiasi ti permette di raggiungere il successivo. Tutto ciò che lo schema di correzione premia è il legame visibile fra queste due idee, non l'algebra in sé.

Prima l'intuizione.

L'affermazione che stai dimostrando è un'intera famiglia di affermazioni, una per ogni intero positivo $n$. Non puoi verificarle una alla volta perché sono infinite. Allora verifichi la prima e poi dimostri un'implicazione: se l'affermazione vale per $n = k$, allora deve valere per $n = k+1$. L'implicazione è il motore, il caso base è la scintilla. Da soli non fanno nulla, e lo schema di correzione dell'IB è costruito proprio su questa separazione.

Adesso la meccanica d'esame.

L'induzione è contenuto HL only dentro il Topic 1, Number and algebra, e compare sia nel Paper 1 sia nel Paper 2 di AA HL. Di solito è un intero punto di un quesito. I punti si dividono in modo prevedibile: punti M per la manipolazione del caso $n = k+1$, punti A per arrivare alla forma semplificata corretta e un punto R per la frase di conclusione. Chi fa tutta l'algebra e poi si ferma perde quel punto R ogni volta.

Un esempio svolto.

Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ $$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

• Caso base: per $n = 1$ il primo membro vale $1^3 = 1$ e il secondo vale $\frac{1^2 \times 2^2}{4} = 1$, quindi l'affermazione è vera per $n = 1$.
• Ipotesi induttiva: supponiamo che l'affermazione sia vera per $n = k$, cioè $\sum_{r=1}^{k} r^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.
• Passo induttivo: $\sum_{r=1}^{k+1} r^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$, e raccogliendo il fattore $\frac{(k+1)^2}{4}$ si ottiene $\frac{(k+1)^2}{4}\left(k^2 + 4(k+1)\right) = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
• Conclusione: questa è la formula di partenza con $n$ sostituito da $k+1$, quindi la verità per $n = k$ implica la verità per $n = k+1$. Poiché l'affermazione è vera per $n = 1$, per il principio di induzione è vera per ogni intero positivo $n$.

Che cosa cerca davvero il correttore.

L'unica riga in cui l'ipotesi viene usata. Una dimostrazione che salta direttamente da $\sum_{r=1}^{k+1} r^3$ alla forma chiusa, senza mai scrivere $\frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$, non ha usato l'ipotesi, e con essa se ne vanno i punti di metodo. Scrivi l'ipotesi e poi richiamala nella riga successiva. Questa abitudine a rendere visibile il passaggio logico è la stessa che decide i punti in tutto il corso HL, ed è uno dei motivi per cui AA HL risulta più duro del previsto, come racconto nelle vere difficoltà della matematica IB.

No. Dalla sessione finale di novembre 2020, le offerte universitarie per matematica, ingegneria e fisica sono scritte in termini di Mathematics: Analysis and Approaches HL. I corsi selettivi indicano di solito un 6 o un 7 in AA HL, con il 7 come richiesta abituale nei dipartimenti di matematica più competitivi. Nessun ufficio ammissioni può pretendere una materia che l'IB non esamina più.

Che cosa segnalava Further Mathematics HL.

Diceva al selezionatore due cose: che il candidato aveva visto matematica oltre il core HL standard e che la scuola era disposta a insegnarla. Oggi entrambi i segnali devono arrivare da altrove. Il primo arriva dal voto stesso in AA HL e dalla prestazione sul Paper 3, che è la componente di problem solving esteso. Il secondo arriva dall'exploration, dove la scelta dell'argomento mostra che cosa sa fare uno studente quando la domanda non gliela pone nessuno.

Che cosa mettere nelle scelte di materia.

Per una laurea in matematica o in fisica la combinazione standard è Analysis and Approaches HL con Physics HL e un terzo HL coerente con i propri interessi. Per ingegneria quasi tutti i dipartimenti si aspettano Analysis and Approaches HL, anche se alcuni accettano Applications and Interpretation HL, quindi conviene controllare la pagina di ogni singolo corso invece di dare per scontato. Il confronto completo è in AA HL rispetto ad A-Level Further Maths per le università STEM.

Un avvertimento sulle pagine vecchie.

I siti universitari si aggiornano lentamente. Una pagina che indica Further Mathematics HL come titolo gradito è stata scritta prima del 2021 e non è mai stata rivista. Scrivi all'ufficio ammissioni invece di provare a soddisfarla, perché soddisfarla è letteralmente impossibile, e nessuna università considera vincolante un requisito impossibile.

Sfrutta il Paper 3 e l'exploration. Il Paper 3 di Mathematics AA HL dura un'ora, vale 55 punti e il 20 per cento del voto finale, e contiene due quesiti obbligatori a risposta estesa che costruiscono matematica non familiare per gradi. L'exploration vale un altro 20 per cento e permette di spingere un argomento fin dove si riesce a sostenerlo.

Perché il Paper 3 è il vero erede della prova sull'opzione.

Ogni quesito del Paper 3 parte da qualcosa di concreto, poi generalizza, poi chiede di dimostrare o giustificare lo schema trovato. Le parti sono concatenate: un quesito che dice hence ti sta dicendo che il risultato precedente va usato, e uno che dice hence or otherwise ti sta dicendo che quella è la via più rapida ma non l'unica. La calcolatrice grafica è ammessa. L'esercizio più utile in assoluto è svolgere un intero quesito del Paper 3 in una sola sessione senza guardare lo schema di correzione fra una parte e l'altra, perché la difficoltà sta nel ragionamento prolungato, non nel singolo passaggio.

Perché l'exploration è il posto in cui gli argomenti perduti possono tornare.

La mathematical exploration si valuta su 20 punti distribuiti in cinque criteri: presentazione (4 punti), comunicazione matematica (4 punti), coinvolgimento personale (3 punti), riflessione (3 punti) e uso della matematica (6 punti). Il criterio E è quello che premia l'ambizione, perché a HL la matematica deve essere corretta e adeguata al livello del corso. Teoria dei gruppi, teoria dei grafi, metodi numerici, analisi degli errori: è tutto territorio legittimo per un'exploration e non compare in nessuna prova di AA HL.

La trappola.

La sofisticazione conta solo quando la matematica è corretta e davvero pertinente alla domanda di ricerca. Un'exploration che cita un teorema senza mai usarlo prende meno di una che porta a termine come si deve un'idea modesta. I criteri e il percorso completo sono nella mia guida all'internal assessment IB.