IGCSE di matematica: regola dei seni e del coseno

La regola dei seni e la regola del coseno estendono la trigonometria ai triangoli senza angolo retto. La regola dei seni collega ogni lato all'angolo che gli sta di fronte tramite un unico rapporto costante. La regola del coseno è il teorema di Pitagora più un termine di correzione che misura quanto l'angolo si allontana da un angolo retto.

La regola dei seni lavora a coppie

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Va letta come un'affermazione sulle coppie, non come una sequenza di simboli da imparare a memoria. In ogni triangolo il lato più lungo sta di fronte all'angolo più grande, e la regola dei seni rende quell'intuizione numerica: il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è lo stesso per tutte e tre le coppie. La conseguenza pratica è un test che puoi fare su qualsiasi figura in due secondi. Se vedi una coppia completa, cioè un lato insieme all'angolo che gli sta davanti, la regola dei seni è disponibile. Se non la vedi, non lo è.

La regola del coseno è Pitagora con una correzione

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Sostituisci $A = 90^\circ$. Poiché $\cos 90^\circ = 0$, l'ultimo termine sparisce e resta $a^2 = b^2 + c^2$, il teorema che usi dalla terza media. Ora apri l'angolo oltre i $90^\circ$: $\cos A$ diventa negativo, quindi $-2bc\cos A$ diventa positivo e il lato opposto risulta più lungo di quanto prevederebbe Pitagora. Chiudi l'angolo sotto i $90^\circ$ e il lato opposto risulta più corto. Chi tiene in testa questa immagine smette di perdere il segno meno a metà calcolo, perché capisce a cosa serve quel termine.

La formula dell'area fa parte della stessa famiglia

$$\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin C$$

È la solita base per altezza diviso due, con l'altezza scritta come $a\sin C$. Nel CIE 0580 Extended la regola dei seni, quella del coseno e questa formula dell'area stanno nella stessa sezione di trigonometria del syllabus, e gli esaminatori chiedono spesso due delle tre in parti diverse della stessa domanda.

Si decide contando quello che il triangolo ti dà. Due angoli e un lato qualsiasi, oppure due lati e un angolo opposto a uno di essi, significa regola dei seni. Due lati con l'angolo compreso, oppure tutti e tre i lati, significa regola del coseno. Se non riconosci nessuno dei due schemi, ti manca un passaggio, non una formula.

Quella decisione è tutta l'abilità richiesta, ed è ciò che le domande IGCSE stanno davvero valutando. Scelta la regola, il resto è lavoro di calcolatrice.

Lo schema che frega di più è quello in cui le informazioni sono distribuite su due triangoli. Una tipica domanda strutturata del CIE 0580 Extended presenta un quadrilatero $ABCD$ con una diagonale tracciata. Il punto (a) dà due lati e l'angolo compreso nel triangolo $ABC$, quindi applichi la regola del coseno per trovare la diagonale. Il punto (b) usa quella diagonale nel triangolo $ACD$, dove ora hai un lato e l'angolo che gli sta di fronte, quindi entra in gioco la regola dei seni. Il punto (c) chiede l'area del quadrilatero, cioè $\frac{1}{2}ab\sin C$ applicata due volte e sommata. La diagonale è il ponte, e chi non la vede si blocca al punto (b) con molti punti ancora disponibili.

La seconda trappola è la coppia nascosta. Una domanda può darti l'angolo $A$ e l'angolo $B$ senza darti $C$, mentre il lato che serve è $c$. Non c'è ancora una coppia completa, quindi la regola dei seni sembra inutilizzabile. Lo diventa nel momento in cui scrivi $C = 180^\circ - A - B$. Quella singola riga vale spesso da sola un punto di metodo.

Se queste regole siano o no nel tuo programma dipende dal livello, argomento trattato nella guida su Extended e Core.

Ecco una domanda tipica dell'IGCSE Extended. Nel triangolo $ABC$,$AB = 8.2$cm,$BC = 11.5$ cm e l'angolo $ABC = 63^\circ$. Trova $AC$, poi l'angolo $BAC$, poi l'area del triangolo. Usa tutte e tre le formule in sequenza e vale circa sette punti distribuiti su tre parti.

Parte (a): trovare $AC$

Hai due lati e l'angolo compreso, quindi serve la regola del coseno. Il lato cercato sta di fronte all'angolo noto, cioè esattamente la configurazione per cui la formula è costruita.

$$AC^2 = 8.2^2 + 11.5^2 - 2 \times 8.2 \times 11.5 \times \cos 63^\circ$$

$$AC^2 = 67.24 + 132.25 - 188.6\cos 63^\circ = 199.49 - 85.6226... = 113.8673...$$

$$AC = \sqrt{113.8673...} = 10.6708... = 10.7 \text{ cm}$$

Il primo punto di metodo è per quella riga di sostituzione, prima di qualunque calcolo. Il secondo è per arrivare a $113.8...$ ed estrarre la radice, ed è lì che perde punti chi sottrae nell'ordine sbagliato. Il punto di accuratezza è per $10.7$ con tre cifre significative.

Parte (b): trovare l'angolo $BAC$

Ora hai una coppia completa: il lato $AC = 10.6708...$ con l'angolo $B = 63^\circ$ che gli sta di fronte. Usa la regola dei seni con l'incognita al numeratore.

$$\frac{\sin BAC}{11.5} = \frac{\sin 63^\circ}{10.6708...}$$

$$\sin BAC = \frac{11.5\sin 63^\circ}{10.6708...} = 0.96020...$$

$$BAC = \sin^{-1}(0.96020...) = 73.8^\circ \text{ con una cifra decimale}$$

Qui morde l'arrotondamento anticipato. Se porti nella parte (b) il valore arrotondato $10.7$ invece del valore pieno della calcolatrice, ottieni $\sin BAC = 0.95763...$ e $BAC = 73.3^\circ$. I punti di metodo restano, ma quello di accuratezza è a rischio per mezzo grado di errore del tutto evitabile. Salva $AC$ nella memoria della calcolatrice e richiamalo.

Parte (c): trovare l'area

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8.2 \times 11.5 \times \sin 63^\circ = 42.0 \text{ cm}^2$$

Nota che la parte (c) non ha bisogno della parte (a): chi ha sbagliato la regola del coseno può comunque prendersi questi punti. Infine controlla la coerenza: l'angolo $ACB = 180^\circ - 63^\circ - 73.8^\circ = 43.2^\circ$, il più piccolo, e sta di fronte ad $AB = 8.2$ cm, il lato più corto. Il triangolo torna.

La regola dei seni può dare due risposte perché $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$. Quando una domanda fornisce due lati e un angolo che non è compreso tra essi, un angolo acuto e il suo compagno ottuso soddisfano entrambi l'equazione e costruiscono entrambi un triangolo reale. La calcolatrice mostra sempre e solo quello acuto.

Ecco la situazione in numeri. Supponi angolo $A = 35^\circ$, lato $a = 7$ cm e lato $b = 9$ cm, e ti viene chiesto l'angolo $B$.

$$\sin B = \frac{9\sin 35^\circ}{7} = 0.73745...$$

$$B = 47.5^\circ \quad \text{oppure} \quad B = 180^\circ - 47.5^\circ = 132.5^\circ$$

Sono entrambi validi. Con $B = 132.5^\circ$ la somma degli angoli resta sotto i $180^\circ$, perché $35^\circ + 132.5^\circ = 167.5^\circ$, e restano $12.5^\circ$ per il terzo angolo. Due triangoli diversi rispettano le stesse tre informazioni.

Come le domande IGCSE sciolgono l'ambiguità

Tre elementi ti dicono quale risposta vuole l'esaminatore. La figura: i disegni del CIE 0580 riportano NOT TO SCALE, ma un angolo disegnato chiaramente ottuso resta un segnale sulla forma descritta. Il testo: una domanda che richiede il caso ottuso di solito lo dichiara, con una frase come angle $B$ is obtuse. L'aritmetica: se il secondo angolo farebbe superare i $180^\circ$, è impossibile e la soluzione acuta è l'unica.

La regola del coseno non ha questo problema

Poiché $\cos\theta$ è negativo per gli angoli ottusi e positivo per quelli acuti, $\cos^{-1}$ restituisce un unico valore tra $0^\circ$ e $180^\circ$. Porta con sé l'informazione di segno che il seno perde. Quindi, quando conosci tutti e tre i lati e ti serve un angolo, soprattutto il più grande, usa $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ invece della regola dei seni. La stessa idea $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ ritorna più avanti nel syllabus quando devi risolvere un'equazione come $\sin x = 0.4$ per $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$, ed è per questo che gli esaminatori continuano a metterla alla prova.

I mark scheme IGCSE assegnano un punto di metodo per la sostituzione corretta nella formula giusta e un punto di accuratezza per il valore finale. Scrivere la regola del coseno con i tuoi numeri già dentro vale punti anche se poi l'aritmetica va storta. Una risposta giusta senza passaggi prende tutti i punti, una risposta sbagliata senza passaggi prende zero.

Questa asimmetria è la ragione pratica per mostrare sempre la riga di sostituzione in ogni domanda sui seni e sul coseno, per quanto tu ti senta sicuro. Costa otto secondi e assicura l'intera domanda.

Le convenzioni da conoscere

I mark scheme segnano M per il metodo, A per l'accuratezza, e usano annotazioni brevi come oe (or equivalent), cao (correct answer only) e ft (follow through). Il follow through pesa moltissimo in queste domande di trigonometria a più parti: se il punto (a) è sbagliato ma il punto (b) è svolto correttamente usando il tuo valore errato, i punti di metodo del punto (b) restano disponibili. Chi abbandona la domanda dopo una prima parte andata male butta via quei punti. Le convenzioni sono spiegate nel dettaglio nella guida ai mark scheme di matematica IGCSE.

Le regole di accuratezza che decidono il punto A

La copertina dei paper CIE 0580 chiede di dare le risposte con tre cifre significative se non diversamente indicato, e gli angoli in gradi con una cifra decimale. Quindi $10.6708...$ cm si scrive $10.7$ cm e $73.78...^\circ$ si scrive $73.8^\circ$. Le risposte esatte, e quelle che terminano prima, si scrivono esatte senza aggiungere zeri. Quando una parte dice show that, la risposta è già data e devi mostrare più accuratezza del valore fornito per dimostrare di esserci arrivato davvero.

Se le formule siano stampate o no dipende dalla commissione

Questa è una delle differenze più nette tra le due specifiche IGCSE di matematica più diffuse, e cambia il modo in cui si ripassa. Il confronto completo sta in CIE 0580 e Edexcel 4MA1.

Le domande su regola dei seni e del coseno compaiono solo nei paper Extended (CIE) o Higher (Edexcel), e sempre dove la calcolatrice è ammessa. Quasi mai arrivano come triangolo isolato. Arrivano dentro una domanda strutturata a più parti, vestite da rilevamenti, da quadrilatero diviso da una diagonale o da solido tridimensionale.

I bearings sono il travestimento più comune

Un bearing si misura in senso orario a partire dal nord e si scrive con tre cifre, quindi est corrisponde a $090^\circ$ e un rilevamento di $47^\circ$ si scrive $047^\circ$. Una nave va da $A$ a $B$ su un rilevamento e da $B$ a $C$ su un altro, e ti viene chiesta la distanza $AC$. Il lavoro vero è trasformare i due rilevamenti nell'angolo interno in $B$ usando le linee del nord parallele e gli angoli sulla retta. Una volta ottenuto quell'angolo, la regola del coseno chiude tutto in una riga. Gli studenti perdono punti sulla geometria dei rilevamenti, non sulla trigonometria.

I problemi in tre dimensioni nascondono un triangolo

In una domanda su una piramide o su un parallelepipedo l'istruzione è sempre la stessa: estrai il triangolo che serve e ridisegnalo in piano a lato della pagina, con le lunghezze note segnate. Molti di questi triangoli sono rettangoli e richiedono solo $\tan$, $\sin$ o $\cos$, ma le facce inclinate di una piramide producono spesso un triangolo non rettangolo in cui la regola del coseno è l'unica strada.

Come allenarsi in modo efficiente

Lavora per argomento invece che per paper intero. Prendi dieci domande su seni e coseno da sessioni diverse e fai solo quelle, in una sola seduta, con il mark scheme chiuso. Vedrai ripetersi gli stessi tre travestimenti e la scelta della regola diventerà automatica. Il metodo per sfruttare così i past paper è descritto nella guida su come usare i past paper di matematica IGCSE. Trattandosi di domande con calcolatrice, le abitudini che proteggono i punti sono abitudini da calcolatrice: modalità gradi, richiamo dalla memoria e arrotondamento solo alla fine.